Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{3 y^{2} - 14 y - 24}{y - 9} \cdot \frac{y^{2} - 12 y + 27}{y - 6}$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 24 = - 72$ und deren Summe gleich $b = - 14$ ist.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $- 14$ aus $- 14 y$ heraus.

$\frac{3 y^{2} - 14 (y) - 24}{y - 9} \cdot \frac{y^{2} - 12 y + 27}{y - 6}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $- 14$ um als $4$ plus $- 18$

$\frac{3 y^{2} + (4 - 18) y - 24}{y - 9} \cdot \frac{y^{2} - 12 y + 27}{y - 6}$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 y^{2} + 4 y - 18 y - 24}{y - 9} \cdot \frac{y^{2} - 12 y + 27}{y - 6}$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(3 y^{2} + 4 y) - 18 y - 24}{y - 9} \cdot \frac{y^{2} - 12 y + 27}{y - 6}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{y (3 y + 4) - 6 (3 y + 4)}{y - 9} \cdot \frac{y^{2} - 12 y + 27}{y - 6}$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 y + 4$ .

$\frac{(3 y + 4) (y - 6)}{y - 9} \cdot \frac{y^{2} - 12 y + 27}{y - 6}$

Schritt 2

Faktorisiere $y^{2} - 12 y + 27$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $27$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 9, - 3$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(3 y + 4) (y - 6)}{y - 9} \cdot \frac{(y - 9) (y - 3)}{y - 6}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 6$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $y - 6$ aus $(3 y + 4) (y - 6)$ heraus.

$\frac{(y - 6) (3 y + 4)}{y - 9} \cdot \frac{(y - 9) (y - 3)}{y - 6}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y - 6) (3 y + 4)}{y - 9} \cdot \frac{(y - 9) (y - 3)}{y - 6}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 y + 4}{y - 9} \cdot ((y - 9) (y - 3))$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 9$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y + 4}{y - 9} \cdot ((y - 9) (y - 3))$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(3 y + 4) \cdot (y - 3)$

Schritt 4

Multipliziere $(3 y + 4) (y - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y (y - 3) + 4 (y - 3)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y \cdot y + 3 y \cdot - 3 + 4 (y - 3)$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y \cdot y + 3 y \cdot - 3 + 4 y + 4 \cdot - 3$

Schritt 5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.1.1

Bewege $y$ .

$3 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 3 + 4 y + 4 \cdot - 3$

Schritt 5.1.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$3 y^{2} + 3 y \cdot - 3 + 4 y + 4 \cdot - 3$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$3 y^{2} - 9 y + 4 y + 4 \cdot - 3$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$3 y^{2} - 9 y + 4 y - 12$

Schritt 5.2

Addiere $- 9 y$ und $4 y$ .

$3 y^{2} - 5 y - 12$